背景

贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础。朴素贝叶斯分类Naive Bayes是贝叶斯分类中最简单，也是常见的一种分类方法，它基于贝叶斯定理和特征条件独立性的假设，通过计算给定特征条件下类别的后验概率来进行分类。

核心算法如下，公式可以通过条件概率推得：

$$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$$

其中，$B$为类别，$A$为特征。我们的任务是计算在$A$特征的条件下，类别$B$出现的概率$P(B|A)$。朴素贝叶斯的核心假设是特征条件独立性，即假设给定类别时，每个特征与其他特征是条件独立的。尽管这个假设在现实中往往不成立，但朴素贝叶斯在许多实际问题中表现良好，尤其是在高维数据和大规模数据集上。

朴素贝叶斯

接下来以一个简单情景为例子，对算法进行分析解释。

假设我们有一个简单的二分类问题，数据集包含12个样本，每个样本有4个特征，标记为$X_1$、$X_2$、$X_3$、$X_4$，以及相应的类别标签$Y$。我们的目标是通过朴素贝叶斯算法来预测新样本的类别。

$X_1$	$X_2$	$X_3$	$X_4$	$Y$
1	0	0	0	No
0	1	0	1	No
1	1	0	1	Yes
0	1	2	1	Yes
1	0	0	1	No
1	0	0	1	No
1	1	2	0	Yes
0	1	1	1	Yes
1	1	1	1	Yes
0	0	2	1	Yes
1	1	0	0	No
1	1	0	0	No

我们的计算步骤如下：

1. 数据准备：

   • 特征：$X_1$、$X_2$、$X_3$、$X_4$
   • 类别：Yes和No

2. 计算先验概率：

   • $P(Yes) = 1/2$
   • $P(No) = 1/2$

3. 计算类别条件概率：对于每个特征和每个类别，计算特征值的条件概率，种类太多，我们以其中几个情况为例：

   • $P(X_1=0|Yes)=3/6=1/2$
   • $P(X_2=0|Yes)=1/6$
   • $P(X_3=0|Yes)=1/6$
   • $P(X_4=0|Yes)=1/6$

4. 应用贝叶斯定理： 对于一个新样本，如$X_1=0$、$X_2=0$、$X_3=0$、$X_4=0$，我们可以计算每个类别的后验概率。

   • 对于类别Yes：
   $$\begin{equation} \begin{aligned} P(Yes|X_1=0,X_2=0,X_3=0,X_4=0)&=\frac{P(X_1=0,X_2=0,X_3=0,X_4=0|Yes)\cdot P(Yes)}{P(X_1=0,X_2=0,X_3=0,X_4=0)}\\ &=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}\times\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{7}{12}\times\frac{1}{3}}\\ &=0.0536 \end{aligned} \end{equation}$$
   • 对于类别No：
   $$\begin{equation} \begin{aligned} P(No|X_1=0,X_2=0,X_3=0,X_4=0)&=\frac{P(X_1=0,X_2=0,X_3=0,X_4=0|No)\cdot P(No)}{P(X_1=0,X_2=0,X_3=0,X_4=0)}\\ &=\frac{\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}\times 1\times \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{7}{12}\times\frac{1}{3}}\\ &=0.9643 \end{aligned} \end{equation}$$

事实上，由于分母是相同的，在求$argmax$时我们并不用计算分母也能得到分类结果。在这种情况下，我们更加倾向于选择No。

连续特征

特征值未必是离散的，因此我们还需要考虑特征值为连续值的情况，此时我们通常假设其服从正态分布：

$$f(x,\mu,\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

那么条件概率可以表示为：

$$P(X=x|Y=y)=f(X=x,\mu_y,\sigma_y)$$

这样就可以继续计算类别后验概率。

Laplace平滑

在朴素贝叶斯中，当某个特征在训练样本中没有出现过，会导致条件概率为零，进而使整个后验概率为零，从而无法对新样本进行分类。为了避免这种情况，引入了拉普拉斯平滑。

通过在计算条件概率时给所有特征的计数加上一个平滑参数（通常是1），每个特征的计数至少为1。这样可以确保即使某个特征在训练样本中没有出现过，其条件概率仍然不为零。

平滑后，条件概率计算公式如下：

$$P^L(Y|X)=\frac{count(X|Y)+1}{count(Y)+numClasses}$$

其中，numClasses为特征种类数，只有添加了numClasses，平滑处理后概率之和才能保持为1。

同样的，分类结果也需要进行拉普拉斯平滑：

$$P^L(Y)=\frac{count(Y)+1}{totalCount+numClasses}$$

其中，totalCount为样本总数，numClasses为分类结果的种类数。

对数操作

当计算多个概率相乘时，特别是在大规模数据集或多个特征的情况下，概率值通常非常小，会非常接近于零。计算机浮点数表示精度是有限的，连续相乘多个小概率的结果可能会导致数值下溢、丢失精度。

因此，通过取对数转换，将概率相乘转换为对数相加，可以在不改变概率之间相对关系的同时有效避免数值下溢的问题。

如果$m$个特征值都为离散值，共有$k$个种类，则分类结果$y(\bold x)$计算如下：

$$y(\bold x)=\mathop{argmax}\limits_{1\le i\le k}\log P^L(Y_i)+\sum_{j=1}^m\log P^L(x_j|Y_i)$$

如果为连续函数，那么计算如下：

$$\begin{equation} \begin{aligned} y(\bold x)&=\mathop{argmax}\limits_{1\le i\le k}\log P^L(Y_i)+P^L(Y_i)+\sum_{j=1}^m\log f(X=x_j,\mu_{Y_i},\sigma_{Y_i})\\ &=\mathop{argmax}\limits_{1\le i\le k}\log P^L(Y_i)+P^L(Y_i)+\sum_{j=1}^m-\frac{1}{2}\log2\pi-\log \sigma_{Y_i}-\frac{(x_j-\mu_{Y_i})^2}{2\sigma^2_{Y_i}} \end{aligned} \end{equation}$$

$\frac{1}{2}\log2\pi$是常数，在做$argmax$操作时可以直接略去，因此分类结果可以表示为：

$$y(\bold x)=\mathop{argmax}\limits_{1\le i\le k}\log P^L(Y_i)+P^L(Y_i)+\sum_{j=1}^m-\log \sigma_{Y_i}-\frac{(x_j-\mu_{Y_i})^2}{2\sigma^2_{Y_i}}$$